Question

10．已知二次函数f（x）=x²-16x+q+3
（1）当q=1时，求f（x）在[-1，9]上的值域；
（2）问：是否存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51？若存在，求出q的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）计算f（x）的对称轴，判断f（x）的单调性，从而求出f（x）的值域；
（2）对q进行讨论判断f（x）在[q，10]上的单调性，令f_min（x）=-51解出q．

解答 解：（1）q=1时，f（x）=x²-16x+4=（x-8）²-60．
∴f（x）在区间[-1，8]上递减，在区间[8，9]上递增，
∴f（x）_max=f（-1）=21，f（x）_min=f（8）=-60，
∴f（x）在[-1，9]上的值域为[-60，21]．
（2）假设存在常数q（0＜q＜10），使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51，
∵f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]
∴当0＜q＜8时，f（x）_min=f（8）=q-61=-51，∴q=10（舍）．
当q≥8时，f（x）在区间[q，10]上单调递增，$f{（x）_{min}}={q^2}-15q+3=-51$，
解得q=6（舍）或q=9，
故存在常数q=9，使得当x∈[q，10]时，f（x）的最小值为-51．

点评 本题考查了二次函数的单调性，分类讨论思想，属于中档题．