Question

5．已知f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（b-1）x+lnx（a＞0，b∈R）．
（1）当a=2，b=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个极值点x₁和x₂，0＜x₁＜2＜x₂＜4求证：b＜2a．

Answer 1

分析 （1）当a=2，b=-2时，对f（x）求导，利用导函数判断函数的单调性即可；
（2）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，转化为f（x）=0在（0，+∞）有两个不同的解x₁，x₂，即x₁，x₂是ax²+（b-1）x+1=0在（0，+∞）内的两个不同解．

解答 解：（1）f‘（x）=2x-3+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-3x+1}{x}$（x＞0），
由f'（x）=0得x=$\frac{1}{2}$ 或x=1，．
∴当x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$ 时，f'（x）＞0，
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时f'（x）＜0，
∴（$\frac{1}{2}$，1）是函数f（x）的减区间，（0，$\frac{1}{2}$）和（1，+∞）是f（x）的增区间； 
（2）∵函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，∴f（x）=0在（0，+∞）有两个不同的解x₁，x₂，
．∵f（x）=ax+（b-1）+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+（b-1）x+1}{x}$，
∴x₁，x₂是ax²+（b-1）x+1=0在（0，+∞）内的两个不同解，
设h（x）=ax²+（b-1）x+1，则该函数有两个零点x₁，x₂，
∵0＜x₁＜2＜x₂＜4，∴$\left\{\begin{array}{l}{h（0）＞0}\\{h（2）＜0}\\{h（4）＞0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{4a+2（b-1）+1＜0}\\{16a+4（b-1）+1＞0}\end{array}\right.$，
∴$\frac{3}{4}$-4a＜b＜$\frac{1}{2}$-2a，即$\frac{3}{4}$-4a＜$\frac{1}{2}$-2a得a＞$\frac{1}{8}$，
∴b＜$\frac{1}{2}$-2a＜4a-2a=2a，∴b＜2a得证；

点评 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及导数零点与极值点之间关系，属中等题．