Question

20．函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx是[1，+∞）上的增函数．
（Ⅰ）求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数g（x）=x²+2x，在使g（x）≥M对定义域内的任意x值恒成立的所有常数M中，我们把M的最大值M=-1叫做f（x）=x²+2x的下确界，若函数f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx的定义域为[1，+∞），根据所给函数g（x）的下确界的定义，求出当a=1时函数f（x）的下确界．
（Ⅲ）设b＞0，a＞1，求证：ln$\frac{a+b}{b}$＞$\frac{1}{a+b}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当函数单调递增时，其导数大于等于0恒成立求参数的范围
（Ⅱ）求下确界就是求函数的最小值利用导数求函数的最值
（Ⅲ）证明不等式就是求最值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{ax-1}{{ax}^{2}}$，f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≥$\frac{1}{x}$对x∈[1，+∞）恒成立，
又$\frac{1}{x}$≤1，∴a≥1，
故正实数a的取值范围为a≥1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=1时，函数f（x）是定义域[1，+∞）上的增函数，
故f（x）_min=f（1）=0，
f（x）≥M恒成立
∴M≤f（x）_min=0，
∴M的最大值为0，
∴当a=1时函数f（x）的下确界为0．
答：当a=1时函数f（x）的下确界是0；
（Ⅲ）证明：取x=$\frac{a+b}{b}$，∵a＞1，b＞0，∴$\frac{a+b}{b}$＞1，
由（Ⅰ）知f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在[1，+∞）上是增函数，
∴f（$\frac{a+b}{b}$ ）＞f（1）=0，
∴$\frac{1-\frac{a+b}{b}}{a•\frac{a+b}{b}}$+ln $\frac{a+b}{b}$＞0，
即ln $\frac{a+b}{b}$＞$\frac{1}{a+b}$．

点评 导数的应用①知函数的单调性求参数范围 一般转化成道函数恒大于等于0 或小于等于0②证明不等式转化成函数的最值，若含着对数或指数一般用导数求最值．