Question

6．已知函数f（x）=|x-a|+2|x+1|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≥4对于任意x∈R都恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．
（2）利用f（x）_min=min{f（-1），f（a）}，求解即可．

解答 解：（1）当a=3时，x＜-1，不等式可化为-3x+1≥6，∴x≤-$\frac{5}{3}$；
-1≤x≤3时，不等式可化为x+5≥6，∴x≥1，∴1≤x≤3；
当x＞3时，3x-1≥6，∴x≥$\frac{7}{3}$，∴x＞3，
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-$\frac{5}{3}$或x≥1}；
（2）∵f（x）_min=min{f（-1），f（a）}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=|-1-a|≥4}\\{f（a）=2|a+1|≥4}\end{array}\right.$，∴a≤-5或a≥3．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．