Question

1．设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 （1）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）求出f（4）=2，不等式f（x）+f（x-3）≤2转化为f[x（x-3）]≤f（4）求解，注意定义域．

解答 解：（1）f（x）在（0，+∞）上是单调递增．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，$\frac{x_2}{{x{\;}_1}}＞1$
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（x{\;}_1•\frac{x_2}{x_1}）-f（x{\;}_1）=f（{x_1}）+f（\frac{x_2}{x_1}）-f（x{\;}_1）$=$f（\frac{x_2}{x_1}）$
∵x＞1时f（x）＞0∴$f（\frac{x_2}{x_1}）$＞0即f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
  f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]，f（x）+f（x-3）≤2，
  即f[x（x-3）]≤f（4）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，
∴$\left\{\begin{array}{l}x（x-3）≤4\\ x＞0\\ x-3＞0\end{array}\right.$⇒3＜x≤4，∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集为{x|3＜x≤4}．

点评 本题考查了，抽象函数的单调性证明及函数不等式的解法，属于中档题．