Question

9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21平万千米．

Answer 1

分析 由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．

解答 解：由题意画出图象：
且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，
AC=15里=7500米，
在△ABC中，由余弦定理得，
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{1{3}^{2}+1{4}^{2}-1{5}^{2}}{2×13×14}$=$\frac{5}{13}$，
所以sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{12}{13}$，
则该沙田的面积：即△ABC的面积S=$\frac{1}{2}AB•BC•sinB$
=$\frac{1}{2}×6500×7000×\frac{12}{13}$ 
=21000000（平方米）=21（平方千米），
故答案为：21．

点评 本题考查了余弦定理，以及三角形面积公式的实际应用，注意单位的转换，属于中档题．