Question

16．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且2a₁+3a₂=1，a₃²=9a₂a₆
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）设b_n=$\frac{1}{{a_{2n-1}^{\;}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{a_{2n-1}^{\;}}}$=3^2n-1=$\frac{1}{3}×{9}^{n}$，再利用等比数列的定义及其通项公式、求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵等比数列{a_n}的各项均为正数，设公比为q，
由a₃²=9a₂a₆，可得${a}_{3}^{2}$=9${a}_{4}^{2}$．可得a₃=3a₄，∴q=$\frac{1}{3}$，
又2a₁+3a₂=1，∴2a₁+3a₁×$\frac{1}{3}$=1，解得a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）由（1）知b_n=$\frac{1}{{a_{2n-1}^{\;}}}$=3^2n-1=$\frac{1}{3}×{9}^{n}$，
∴$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}×{9}^{n+1}}{\frac{1}{3}×{9}^{n}}$=9与n无关，
故{b_nz}是等比数列，公比为9，首项为3．
∴S_n=$\frac{3（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{8}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．