Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．
（1）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依

题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，

即

解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

令f'（x）=0，得x=﹣1，x=1．

若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

则f'（x）＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．

若x∈（﹣1，1），

则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．

所以，f（﹣1）=2是极大值；f（1）=﹣2是极小值．

（2）解：曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），

则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．

因f'（x0）=3（x02﹣1），

故切线的方程为y﹣y0=3（x02﹣1）（x﹣x0）

注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）=3（x02﹣1）（0﹣x0）

化简得x03=﹣8，

解得x0=﹣2．

所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0

【解析】（1）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（﹣1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（﹣1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；（2）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0 ， y0），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．