Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．

（1）求过点的切线方程（用表示）；

（2）过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与（为抛物线的顶点）面积之和的最小值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）3

【解析】

（1）设出切线方程，联立抛物线方程后化简，并令；将点带入抛物线方程，联立后求得，代入直线方程即可求得切线方程.

（2）设，，结合（1）中的结论表示出和的方程，进而可得的方程，确定所过定点坐标；联立和抛物线方程，由韦达定理表示出，，进而表示出，结合基本不等式即可求得最小值.

（1）设过点的切线方程为，

则联立方程，化简可得，

因为直线与抛物线相切，则，得，

而为抛物线上一点，则，

代入可得，得，

，即，

即切线方程为．

（2）设，，

由（1）可知切线的方程为，的方程为，

又均过，

，，

故的方程为，由此可得恒过定点，

由得，

，

设，则，

当且仅当，即时，等号成立

的最小值为3．