Question

【题目】如图，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于点、，直线、分别与抛物线交于点、.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求与的面积之和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据抛物线的性质，求得的值，求得抛物线方程；

（2）设直线的方程，代入抛物线方程，同理求得及的方程，并代入抛物线方程求得、，因此求得直线方程，并且求得直线方程恒过定点，因此表示出与的面积，即可求得与的面积之和的最小值.

（1）由题意可知，则，所以抛物线的标准方程；

（2）由题意可知，设直线的方程为，设、，

联立方程组，消去，整理得，

则，，

设，，

设直线的方程，联立方程组，

消去，整理得，则，，

则，，同理得到，，

则，

则直线的方程为，

即，

则直线过定点，

所以，，

所以，当且仅当时等号成立.

所以，与的面积之和的最小值.