Question

【题目】已知函数，.

(1)求的值；

(2)令在上最小值为，证明：.

Answer 1

【答案】(1)；(2)见解析．

【解析】

(1)将转化为对任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；

(2)由(1)知，可得，令，可证，使得，从而可确定在上单调递减，在上单调递增，进而可得，即，即可证出．

函数的定义域为，因为对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，

当时，，故在上单调递增，

又，所以当时，，不符合题意；

当时，令得，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以要使在时恒成立，则只需，即，

令，，

所以，

当时，；当时，，

所以在 单调递减，在上单调递增，所以，

即，又，所以，

故满足条件的的值只有

(2)由(1)知，所以，

令，则，

当，时，即在上单调递增；

又，，所以，使得，

当时，；当时，，

即在上单调递减，在上单调递增，且

所以，

即，所以，即．