Question

19．已知函数f（x）=（x-k-1）e^x（e为自然对数的底数，e≈2.71828，k∈R）．
（1）当x＞0时，求f（x）的单调区间和极值；
（2）①若对于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜4x成立，求k的取值范围；
②若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），证明：x₁+x₂＜2k．

Answer 1

分析 （1）求出函数的对数，通过讨论k的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）①由f（x）＜4x，可得（x-k-1）e^x-4x＜0，所以k＞x-1-$\frac{4x}{{e}^{x}}$对任意x∈[1，2]恒成立，求出右边的最大值，即可得出结论；
②不妨设x₁＜k＜x₂＜k+1，问题转化为证明2k-x₁＞x₂，即证f（2k-x₁）＞f（x₂），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=（x-k）e^x，x＞0．
（i）当k＜0时，f'（x）＞0恒成立，
∴f（x） 的递增区间是（0，+∞），无递减区间；无极值．
（ii）当k＞0 时，由f'（x）＞0 得，x＞k；由f'（x）＜0 得，0＜x＜k，
∴f（x） 的递减区间是（0，k），递増区间是（k，+∞），
f（x）的极小值为f（k）=-e^k，无极大值．
（2）解：①由f（x）＜4x，可得（x-k-1）e^x-4x＜0，所以k＞x-1-$\frac{4x}{{e}^{x}}$对任意x∈[1，2]恒成立，
记$g（x）=x-1-\frac{4x}{e^x}$，则$g'（x）=1-\frac{4（1-x）}{e^x}=\frac{{{e^x}+4（x-1）}}{e^x}$，
因为x∈[1，2]，所以g'（x）＞0，即g（x） 在x∈[1，2]上单调递增，
故$g{（x）_{max}}=g（2）=1-\frac{8}{e^2}=\frac{{{e^2}-8}}{e^2}$．
所以实数k的取值范围为$（\frac{{{e^2}-8}}{e^2}，+∞）$．
②证明：由已知f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂），结合（1）可知，k＞0，f（x） 在（-∞，k） 上单调递减，在（k，+∞） 上单调递增，又f（k+1）=0，x＜k+1 时，f（x）＜0．
不妨设x₁＜k＜x₂k，2k-x₁＞k，故要证x₁+x₂x₂，
只要证f（2k-x₁）＞f（x₂），
因f（x₁）=f（x₂），即证f（2k-x₁）＞f（x₁）．
设 h（x）=f（2k-x）-f（x）=$\frac{{（-x+k-1）{e^{2k}}}}{e^x}\;-（x-k-1）{e^x}\;（x＜k）$，
$h'（x）=\frac{{（x-k）{e^{2k}}}}{e^x}-（x-k）{e^x}$=$\frac{{（x-k）（{e^{2k}}-{e^{2x}}\;）}}{{{e^x}\;}}$，
∴当x＜k 时，h'（x）＜0，h（x）在（-∞，k）上单调递减，
∴x∈（-∞，k）时，h（x）＞h（k）=-e^k+e^k=0，
故当x＜k时，f（2k-x）＞f（x），即f（2k-x₁）＞f（x₁） 成立，
∴x₁+x₂＜2k．

点评 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．