Question

14．已知函数f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数，当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数y=f（x）的图象不在直线y=kx的下方，则实数k的取值范围（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，e${\;}^{\frac{π}{2}}$）
• D． （-∞，e${\;}^{\frac{π}{2}}$]

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-ax=e^xsinx-ax，要使f（x）≥ax总成立，只需x∈[0，$\frac{π}{2}$]时g（x）_min≥0，求出g'（x），令h（x）=e^x（sinx+cosx），再求出h'（x），（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），所以h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为增函数，所以h（x）∈[1，${e}^{\frac{π}{2}}$]；最后对k分类讨论，求出实数k的取值范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，
由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数y=f（x）的图象不在直线y=kx的下方
故要使f（x）≥kx总成立，只需x∈[0，$\frac{π}{2}$]时g（x）_min≥0，
对g（x）求导，可得g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），
则h'（x）=2e^xcosx＞0，（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）
所以h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
所以h（x）∈[1，${e}^{\frac{π}{2}}$]；
对k分类讨论：
①当k≤1时，g'（x）≥0恒成立，
所以g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②当1＜k＜${e}^{\frac{π}{2}}$时，g'（x）=0在上有实根x₀，
因为h（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
所以当x∈（0，x₀）时，g'（x）＜0，
所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合题意；
③当k≥${e}^{\frac{π}{2}}$时，g'（x）≤0恒成立，
所以g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上为减函数，
则g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综上，可得实数k的取值范围是（-∞，1]，
故选：B．

点评 此题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值问题，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．