Question

4．已知函数f（x）=（x-1）e^x+1，g（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$x²．
（I）求f（x）的单调区间及最小值；
（Ⅱ）若在区间[0，+∞）上不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数f′（x）=xe^x，这样根据导数符号即可得出f（x）的单调区间，并可求出f（x）的最小值；
（Ⅱ）可构造函数$h（x）=f（x）-g（x）=（x-1）{e}^{x}+1-\frac{1}{3}a{x}^{3}$$-\frac{1}{2}{x}^{2}$，求导数得到h′（x）=x（e^x-ax-1），这样只需判断φ（x）=e^x-ax-1的符号，求导数φ′（x）=e^x-a，可知e^x≥1，这样讨论a：a≤1，和a＞1，每种情况下判断φ（x），h′（x）的符号，从而看是否得出h（x）≥0，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=xe^x；
∴x＜0时，f′（x）＜0，x＞0时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调递减区间为（-∞，0），单调递增区间为（0，+∞），且f（x）的最小值为f（0）=0；
（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）-g（x）=$（x-1）{e}^{x}+1-\frac{1}{3}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}$，x∈[0，+∞）；
∴h′（x）=xe^x-ax²-x=x（e^x-ax-1）；
∵x∈[0，+∞），
∴e^x-ax-1的符号就是h′（x）的符号；
设φ（x）=e^x-ax-1，x∈[0，+∞），φ′（x）=e^x-a；
∵x∈[0，+∞），∴e^x≥1；
①a≤1时，φ′（x）=e^x-a≥0，φ（x）在[0，+∞）上是增函数，又φ（0）=0，
∴φ（x）≥0；
∴h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上是增函数，又h（0）=0，
∴h（x）≥0；
∴a≤1符合题意；
②a＞1时，令φ′（x）=0得，x=lna＞0，在[0，lna）上φ′（x）＜0，φ（x）是减函数φ（0）=0；
∴x∈（0，lna）时，φ（x）＜0，∴h′（x）＜0，h（x）在（0，lna）上是减函数；
∴h（x）＜0；
∴a＞1不合题意；
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 考查基本初等函数求导公式，积的导数的计算公式，根据导数符号求函数单调区间的方法，以及根据导数符号求函数最值的方法和过程，以及函数单调性定义，构造函数的方法．