Question

9．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足$\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}$＞x，则下列不等式成立的是（　　）

• A． 3f（2）＜2f（3）
• B． 2f（3）＜3f（2）
• C． 3f（4）＜4f（3）
• D． 2f（3）＜3f（4）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可．

解答 解：∵定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），
∴f′（x）＜0，则不等式$\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}$＞x，等价为f（x）＜xf′（x），
即xf′（x）-f（x）＞0，
设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
则g（3）＜g（4），g（2）＜g（3），
即$\frac{f（3）}{3}$＜$\frac{f（4）}{4}$，$\frac{f（2）}{2}$＜$\frac{f（3）}{3}$
即4f（3）＜3f（4），3f（2）＜2f（3），
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的大小比较，根据条件构造函数，利用函数的单调性进行判断是解决本题的关键．