Question

12．已知函数$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，求实数a的值；
（2）求证：函数f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$，由题意结合导数的几何意义得f′（x）=a+1=3，由此能求出a．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，由此得用导数性质求出a=0时，f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）＞$\frac{3}{2}$，a＞0时，f（x）的最小值为$\frac{1}{2}+{x}_{0}-ln{x}_{0}$，构造函数$g（x）=\frac{1}{2}+x-lnx，x∈（0，1）$，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＜0，由此利用导数性质能证明函数f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$，
∴${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+3y=0垂直，
∴f′（x）=a+1=3，解得a=2．
证明：（2）函数$f（x）=\frac{a}{2}{x^2}+2x-lnx（a≥0）$的定义域为（0，+∞），
${f}^{'}（x）=ax+2-\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
①a=0，当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（$\frac{1}{2}，+∞$）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的最小值为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{a}{8}+1-ln\frac{1}{2}$=1+ln2＞1+ln$\sqrt{e}$=$\frac{3}{2}$．
②a＞0，令f′（x）=0，则${x}_{0}=\frac{\sqrt{a+1}-1}{a}$∈（0，1），且满足$a{{x}_{0}}^{2}$+2x₀-1=0，
当x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴f（x）的最小值为：
$f（{x}_{0}）=\frac{a}{2}{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}-ln{x}_{0}$=$\frac{1-2{x}_{0}}{2}+2{x}_{0}-ln{x}_{0}=\frac{1}{2}+{x}_{0}-ln{x}_{0}$，
构造函数$g（x）=\frac{1}{2}+x-lnx，x∈（0，1）$，则g′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＜0，
∴g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）=g（1）=$\frac{3}{2}$，
此时，函数f（x）的最小值为$f（{x}_{0}）=\frac{1}{2}+{x}_{0}-ln{x}_{0}$＞$\frac{3}{2}$，
综上所述，函数f（x）的最小值大于$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查函数的最小值大于$\frac{3}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的性质、导数的几何意义的合理运用．