Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，直线PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC=2AB=2AD=4BE=4．
（I）求证：直线DE⊥平面PAC．
（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥平面ABCD，可得AB⊥PA．又AB⊥AD，可建立建立如图所示坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一个法向量是$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{PE}$=（2，1，λ）．设直线PE与平面PAC所成的角为θ，可得sinθ=|cos$＜\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{DE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{PE}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，解得λ．设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，可得cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DE}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DE}|}$．

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA．又∵AB⊥AD，故可建立建立如图所示坐标系．由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，λ），
$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{AC}$=4-4+0=0，$\overrightarrow{DE}$$•\overrightarrow{AP}$=0．
∴DE⊥AC，DE⊥AP，
∴ED⊥平面PAC．
（Ⅱ）由（Ⅰ），平面PAC的一个法向量是$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{PE}$=（2，1，λ）．
设直线PE与平面PAC所成的角为θ，
∴sinθ=|cos$＜\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{DE}＞$|=$\frac{|4-1|}{\sqrt{5}\sqrt{5+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得λ=±2，∵λ＞0，∴λ=2，即P（0，0，2）．
设平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{DC}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1）．
∴cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DE}＞$=$\frac{2+1}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
  显然二面角A-PC-D的平面角是锐角，∴二面角A-PC-D的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了空间线面位置关系、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．