Question

（2011•东城区二模）已知函数f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求证：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求f（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证函数在（1，+∞）上是增函数，只需要证明其导数大于0即可；求导函数先研究函数的单调性，确定极值，从而确定函数的最值，分类讨论是解题的关键．
（Ⅱ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值、最值即可．

解答：证明：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-2lnx，当x∈（1，+∞）时，f/(x)=

2(x2-1)

x

＞0，所以f（x）在（1，+∞）上是增函数；   …（5分）
（Ⅱ）解：f/(x)=

2x2-a

x

＞0，
当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1．
当a＞0，x∈(0，

a 2

)时，f（x）单调递减；当x∈(

a 2

，+∞)时，f（x）单调递增．
若

a 2

≤ 1，即0＜a≤2时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，又f（1）=1，，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为1．
若

a 2

＞1，即a＞2时，f（x）在[1，

a 2

)上单调递减；在(

a 2

，+∞)上单调递增．
又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，所以f（x）在[1，+∞）上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
综上，当a≤2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为1；
当a＞2时，f（x）在[1，+∞）上的最小值为

a

2

-

a

2

ln

a

2

．…（13分）

点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．