Question

【题目】设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，已知点的坐标为.

（Ⅰ）当与轴垂直时，求点A、B的坐标及的值

（Ⅱ）设为坐标原点，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A或，=（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）把代入椭圆方程求出坐标，可得；

（Ⅱ）当l与x轴重合，l与x轴垂直时易证明，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，由直线方程与椭圆方程联立，消元整理后应用韦达定理得，然后用计算结果为0，结论得证．

解：（Ⅰ）由已知得，l的方程为x=1.代入椭圆方程得，，

所以A或，=

（Ⅱ）当l与x轴重合时，.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，

则，直线MA，MB的斜率之和为.

由得.

将代入得

.

所以， .

则.

从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.

综上，.