【题目】已知函数 .任取t∈R,若函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)当t∈[﹣2,0]时,求函数g(t)的解析式;
(3)设函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中实数k为参数,且满足关于t的不等式 有解,若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,求实数k的取值范围.
【答案】
(1)解:函数 ,
则f(x)的最小正周期为 ;
令 ,解得f(x)的对称轴方程为x=2k+1(x∈Z);
(2)解:①当 时,在区间[t,t+1]上,
,
m(t)=f(﹣1)=﹣1,
∴ ;
②当 时,在区间[t,t+1]上,
,
m(t)=f(﹣1)=﹣1,
∴ ;
③当t∈[﹣1,0]时,在区间[t,t+1]上, ,
,
∴ ;
∴当t∈[﹣2,0]时,函数 ;
(3)解:∵ 的最小正周期T=4,
∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t),
∴g(t+4)=M(t+4)﹣m(t+4)=M(t)﹣m(t)=g(t);
∴g(t)是周期为4的函数,研究函数g(t)的性质,只须研究函数g(t)在t∈[﹣2,2]时的性质即可;
仿照(2),可得 ;
画出函数g(t)的部分图象,如图所示,
∴函数g(t)的值域为 ;
已知 有解,即
k≤4g(t)max=4
,
∴k≤4;
若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,
即H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集.
∵ ,
当k≤4时,∵h(x)在(﹣∞,k)上单调递减,在[k,4]上单调递增,
∴h(x)min=h(k)=1,
∵H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8在[4,+∞)上单调递增,
∴H(x)min=H(4)=8﹣2k,
∴8﹣2k≥1,即 ;
综上,实数的取值范围是 .
【解析】(1)根据正弦型函数f(x)的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程;(2)分类讨论 、
和t∈[﹣1,0]时,求出对应函数g(t)的解析式;(3)根据f(x)的最小正周期T,得出g(t)是周期函数,研究函数g(t)在一个周期内的性质,求出g(t)的解析式;画出g(t)的部分图象,求出值域,利用不等式
求出k的取值范围,再把“对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立”转化为“H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集“,从而求出k的取值范围.
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【题目】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于 ,它的一个短轴端点是(0,2
).
(1)求椭圆C的方程;
(2)P(2,3)、Q(2,﹣3)是椭圆上两点,A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点,
①若直线AB的斜率为 ,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
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【题目】函数f(x)=2sin(2x+ ),g(x)=mcos(2x﹣
)﹣2m+3(m>0),若对任意x1∈[0,
],存在x2∈[0,
],使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】为了解某班学生喜爱体育运动是否与性别相关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
喜爱体育运动 | 不喜爱体育运动 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部女生中随机调查2人,恰好调查到的2位女生都喜爱体育运动的概率为
(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)
(2)能偶在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱体育运动与性别有关?说明你的理由;
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:K2= .其中n=a+b+c+d)
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【题目】已知函数f(x)定义域为[0,+∞),当x∈[0,1]时,f(x)=sinπx,当x∈[n,n+1]时,f(x)= ,其中n∈N,若函数f(x)的图象与直线y=b有且仅有2016个交点,则b的取值范围是( )
A.(0,1)
B.( ,
)
C.( ,
)
D.( ,
)
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【题目】据调查分析,若干年内某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足:y=P(x)=2 ,(其中,t为关税的税率,且t∈[0,
),x为市场价格,b,k为正常数),当t=
时的市场供应量曲线如图.
(Ⅰ)根据图象求b,k的值;
(Ⅱ)若市场需求量为Q(x)=2 ,当p=Q时的市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格保持在10元时,求税率t的值.
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【题目】某水利工程队相应政府号召,计划在韩江边选择一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积为32400m2的矩形鱼塘,其四周都留有宽3m的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,才能使占有农田的面积最少.
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