Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=AC=AA₁．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BC₁；
（2）若D为B₁C₁的中点，求异面直线AD与A₁B所成的角的大小．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）由题意所给的条件，结合线面垂直的判定定理可得结论；（2）设AB₁∩BA₁=O，取线段B₁D的中点M，连结OM，可得直线OM与A₁B所成角即为直线AD与A₁B所成的角，设AB=AC=AA₁=a，在△OMA₁中，由余弦定理和反三角函数可得．

解答： 解：（1）由题意知四边形AA₁B₁B是正方形，∴AB₁⊥BA₁，
由AA₁⊥平面A₁B₁C₁得AA₁⊥A₁C₁．又A₁C₁⊥A₁B₁，得AA₁∩A₁B₁，=A₁，
∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥AB₁，
又A₁C₁∩BA₁=A₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁
（2）设AB₁∩BA₁=O，取线段B₁D的中点M，连结OM，
∵OM∥AD，∴直线OM与A₁B所成角即为直线AD与A₁B所成的角，
设AB=AC=AA₁=a，在△OMA₁中，OM=

1

2

AD=

6

4

a，OA₁=

2

2

a，A₁M=

10

4

a，
由余弦定理可得cos∠A₁OM=

OM2+OA12-A1M2

2OM•OA1

=

3

6

∴∠A₁OM=arccos

3

6

，即异面直线AD与A₁B所成角的大小为：arccos

3

6

点评：本题考查异面直所成的角，涉及余弦定理的应用和线面垂直的判定，属中档题．