Question

3．已知函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2{a^2}x+b，a，b∈R$．
（1）若曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线与曲线y=f（x）的公共点的横坐标之和为3，求a的值；
（2）当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，对任意c，d∈[-1，2]，使f（c）-b+f'（d）≥M+8a恒成立，求实数M的取值范围．

Answer 1

分析 （1）清楚f'（x）=-x²+ax+2a²，推出f'（0）=2a²，求出切线方程，利用切线与曲线y=f（x）的公共点的横坐标之和为3，求解即可．
（2）$f（c）-b=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，令$g（c）=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，求出导数g'（c）=-c²+ac+2a²=-（c+a）（c-2a），令g'（c）=0，得到极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值，推出函数h（a）的最值，利用$f（c）-b+f'（d）≥6{a^2}+4a-\frac{20}{3}$，转化求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=-x²+ax+2a²，则f'（0）=2a²，f（0）=b=3，（1分）
所以切线方程为y=2a²x+b，代入y=f（x）得$\frac{1}{2}a{x^2}=\frac{1}{3}{x^3}$，则${x_1}=0，{x_2}=\frac{3}{2}a$，
所以${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}a=3$，即a=2．                  （4分）
（2）$f（c）-b=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，
令$g（c）=-\frac{1}{3}{c^3}+\frac{1}{2}a{c^2}+2{a^2}c$，则g'（c）=-c²+ac+2a²=-（c+a）（c-2a），
令g'（c）=0，则c=-a或c=2a，
因为$0＜a≤\frac{1}{2}$，所以$-a∈[-\frac{1}{2}，0），2a∈（0，1]$，
所以当c∈[-1，-a]和c∈（2a，2]时，g'（c）＜0，函数g（c）单调递减，
当c∈（-a，2a）时，g'（c）＞0，函数g（c）单调递增，
所以函数g（c）的极小值为$g（-a）=\frac{1}{3}{a^3}+\frac{1}{2}{a^3}-2{a^3}=-\frac{7}{6}{a^3}$，又$g（2）=-\frac{8}{3}+2a+4{a^2}$，
令$h（a）=g（2）-g（-a）=\frac{7}{6}{a^3}+4{a^2}+2a-\frac{8}{3}$，
易知，当$0＜a≤\frac{1}{2}$时，函数h（a）单调递增，故$h{（a）_{max}}=h（\frac{1}{2}）=-\frac{25}{48}＜0$，所以g（2）＜g（-a），
即当c∈[-1，2]时，$g{（c）_{min}}=g（2）=-\frac{8}{3}+2a+4{a^2}$，（9分）
又$f'（d）=-{d^2}+ad+2{a^2}=-{（d-\frac{a}{2}）^2}+\frac{{9{a^2}}}{4}$，
其对应图象的对称轴为$d=\frac{a}{2}＜\frac{1}{2}$，所以d=2时，$f'{（d）_{min}}=f'（2）=-4+2a+2{a^2}$，
所以$f（c）-b+f'（d）≥6{a^2}+4a-\frac{20}{3}$，故有$6{a^2}+4a-\frac{20}{3}≥M+8a$，
又$6{a^2}+4a-\frac{20}{3}-8a=6{（a-\frac{1}{3}）^2}-\frac{22}{3}$，因为$0＜a≤\frac{1}{2}$，所以$6{（a-\frac{1}{3}）^2}-\frac{22}{3}≥-\frac{22}{3}$，
所以$M≤-\frac{22}{3}$．                  （12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的极值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．