Question

7．过双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的左焦点F引圆x²+y²=9的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由双曲线方程，算出c=5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|-|MT|=4-a=1，得到本题答案．

解答 解：设双曲线的右焦点为F′，则MO是△PFF′的中位线，
∴|MO|=$\frac{1}{2}$|PF′|，|MT|=|PF|-|FT|，
根据双曲线的方程得：
a=3，b=4，c=5，∴|OF|=5，
∵PF是圆x²+y²=9的切线，|OT|=3，
∴Rt△OTF中，|FT|=4，
∴|MO|-|MT|=$\frac{1}{2}$|PF′|-（$\frac{1}{2}$|PF|-|FT|）=|FT|-$\frac{1}{2}$（|PF|-|PF′|）=4-a=1
故答案为：1．

点评 本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|-|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．