Question

16．已知钝角△ABC中，三条边长为连续正整数．
（1）求最大角的余弦值；
（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的性质，大边对大角，利用余弦定理即可求解．
（2）由题意，设出最大角为C，其两边分别为a，b，则a+b=4，由平行四边形的面积S=absinC，利用基本不等式求解最大值即可．

解答 解：（1）由题意，三角形的三条边长为连续正整数，设中间为m，最大边则为：m+1，最小边为m-1．（m
＞1，m∈Z）
设最大角为C，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{m}^{2}+（m-1）^{2}-（m+1）^{2}}{2m（m-1）}$=$\frac{m-4}{2m-2}$．
又∵△ABC是钝角三角形，
∴$\frac{m-4}{2m-2}$＜0，即（m-4）（2m-2）＜0，
解得：1＜m＜4．
∴m=2或3．
当m=2时，cosC=-1，此时三角形不存在．
故得m=3．
∴cosC=$-\frac{1}{4}$．
（2）由（1）可知最大角为C，其两边分别为a，b，则a+b=4，
cosC=$-\frac{1}{4}$，则sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$
∴平行四边形的面积S=absinC
∵a+b$≥2\sqrt{ab}$，（当且仅当a=b时取等号）
可得：ab≤$\frac{1}{4}$．
故得平行四边形的面积S=absinC$≤\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\sqrt{15}}{16}$．

点评 本题考了才余弦定理的灵活运用和计算能力．注意题中隐含的条件，要对边长进行检验．属于中档题．