Question

【题目】对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．

（）设函数，求集合和．

（）求证：．

（）设函数，且，求证：．

Answer 1

【答案】（），．

（）证明见解析．

（）证明见解析．

【解析】

（）根据函数定义，求得不动点的表达式，根据方程即可求得集合A和集合B。

（）讨论当集合A为和不为空集两种情况下B集合的关系，即可证明集合A与集合B的关系。

（）因为集合A为，所以分类讨论与两种不同条件下B集合的情况，即可得到B集合也为。

（）由，

得，

解得，

由，得，

解得．

∴，．

（）若，

则成立，

若，

设为中任意一个元素，

则有，

∴，

故，

∴．

（）由，得方程无实数解，

∴，

①当时，

的图象在轴的上方，

所以任意，恒成立，

即对于任意，

恒成立，

对于，则有成立，

∴对于，恒成立，

则．

②当时，

的图象在轴的下方，

所以任意，恒成立，

即对于，恒成立，

对于实数，则有成立，

所以对于任意，恒成立，

则．

综上知，对于，

当时，．