Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量 =（a，c）， =（cosC，cosA）．
（1）若 ，c= a，求角A；
（2）若 =3bsinB，cosA= ，求cosC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴acosA=ccosC．

由正弦定理，得sinAcosA=sinCcosC．

化简，得sin2A=sin2C．

∵A，C∈（0，π），∴2A=2C或2A+2C=π，

从而A=C（舍）或A+C= ．∴ ．

在Rt△ABC中，tanA= = ，

（2）解：∵ =3bcosB，∴acosC+ccosA=3bsinB．

由正弦定理，得sinAcosC+sinCcosA=3sin2B，从而sin（A+C）=3sin2B．

∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB． 从而sinB= ．

∵ ，A∈（0，π），∴ ，sinA= ．

∵sinA＞sinB，∴a＞b，从而A＞B，B为锐角， ．

∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，

=

【解析】（1）利用向量共线定理和倍角公式可得sin2A=sin2C．再利用正弦函数的单调性、诱导公式即可得出；（2）利用向量垂直与数量积的关系、正弦定理、两角和差的余弦公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道正弦定理:．