Question

14．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，椭圆的离心率为$\frac{2}{3}$．如果|AB|=$\frac{15}{4}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 由题意离心率可得a与c，b与c的关系，代入椭圆方程，和直线方程联立，利用弦长公式列式求得c，则椭圆方程可求．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，得${a}^{2}=\frac{9}{4}{c}^{2}$，${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=\frac{5}{4}{c}^{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{9}{4}{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}{c}^{2}}=1$，即20x²+36y²=45c²．
∵直线l过右焦点F，且倾斜角为60°，
∴直线l的方程为y=$\sqrt{3}$（x-c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}c}\\{20{x}^{2}+36{y}^{2}=45{c}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得：128x²-216cx+63c²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{216c}{128}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{63{c}^{2}}{128}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}•\sqrt{（\frac{216c}{128}）^{2}-\frac{252{c}^{2}}{128}}$=$\frac{15}{4}$，解得c²=4．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了弦长公式的应用，考查计算能力，是中档题．