Question

5．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．
（1）证明：AC⊥PB；
（2）若PD=3，AD=2，求异面直线PB与AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）线线垂直转化为证明线面垂直，连接BD．PD⊥平面ABCD，可得PD⊥AC，BD⊥AC，可知AC⊥平面PBD，故得AC⊥PB；
（2）异面直线所成的角要转化为平面角，通过平移相交寻找．底面ABCD是正方形，AD∥BC，可得异面直线PB与AD所成角为∠PBC．在三角形PBC中求解∠PBC的余弦值即可．

解答 解：（1）证明：连接BD．
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，
∴AC⊥PB．得证．
（2）在Rt△PDB中，$PB={3^2}+{（2\sqrt{2}）^2}=\sqrt{17}$．
∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，又BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PC．
∵BC∥AD，
∴∠PBC即为异面直线PB与AD所成的角，
∴$cos∠PBC=\frac{BC}{PB}=\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$．
故得异面直线PB与AD所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查两条垂直的证明和异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．