Question

【题目】已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）本问考查曲线轨迹方程的求法，画出图形分析，根据垂直平分线的性质可知，再根据，于是得到所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，可以求出轨迹方程；（2）首先考虑当直线斜率存在时，方程可设为，设，联立直线与椭圆方程，消去y，得到关于x的一元二次方程后，列出，假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则即于是经计算可以求出m的值，再检验当斜率不存在时也符合上面求出的值.

试题解析：(I)由题意得

点的轨迹为以为焦点的椭圆

点的轨迹的方程为

(II)直线的方程可设为，设

联立可得

由求根公式化简整理得

假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则

即

求得

因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.