【题目】将边长为正整数m、n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值.
【答案】
【解析】
记所求最小值为,可以证明
.(*)
事实上,不妨设.
(1)对m归纳,可证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为.
当m=1,时,命题显然成立.
假设当时,结论成立
.当
时,若
,则命题显然成立,若
,从矩形ABCD中切去正方形
(如图).由归纳假设,矩形
有一种分法使得所得正方形边长之和恰为
.
于是,原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为.
(2)对m归纳可以证明(*)成立.
当m=1时,由于n=1,显然.
假设当时,对任意
,有
.
若,当
时,显然
当时,设矩形ABCD按要求分成了p个正方形,其边长分别为
.不妨设
.
显然,或
.
若,则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形(或其边界),于是
不少于AB与CD之和.
故.
若,则一个边长分别为m-n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为
的正方形,由归纳假设
.
从而,
于是,当m=k+1时,
再由(1)可知,.
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【题目】某文体局为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:公里)的数据,绘制了下面的折线图.根据折线图,下列结论正确的是( )
A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】已知函数f(x)=.
(1) 若不等式k≤xf(x)+在x∈[1,3]上恒成立,求实数k的取值范围;
(2) 当x∈ (m>0,n>0)时,函数g(x)=tf(x)+1(t≥0)的值域为[2-3m,2-3n],求实数t的取值范围.
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【题目】设曲线(a为正常数)与
在x轴上方仅有一个公共点P.
(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若与x轴的负半轴交于点A,当
时,试求△OAP的面积的最大值(用a表示).
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【题目】设 a ∈ N+ , a ≥ 2 , 集合.在闭区间[ 1, a ] 上是否存在 b , 使 A ∩ B ≠
? 如果存在, 求出 b 的一切可能值及相应的 A ∩ B;如果不存在, 试说明理由.
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【题目】在古装电视剧《知否》中,甲乙两人进行一种投壶比赛,比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种,其中“有初”算“两筹”,“贯耳”算“四筹”,“散射”算“五筹”,“双耳”算“六筹”,“依竿”算“十筹”,三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为,投中“贯耳”的概率为
,投中“散射”的概率为
,投中“双耳”的概率为
,投中“依竿”的概率为
,乙的投掷水平与甲相同,且甲乙投掷相互独立.比赛第一场,两人平局;第二场,甲投了个“贯耳”,乙投了个“双耳”,则三场比赛结束时,甲获胜的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,短轴长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆的左焦点为
,过点
的直线
与椭圆
交于
两点,则在
轴上是否存在一个定点
使得直线
的斜率互为相反数?若存在,求出定点
的坐标;若不存在,也请说明理由.
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【题目】已知△的三个内角
、
、
所对应的边分别为
、
、
,复数
,
,(其中
是虚数单位),且
.
(1)求证:,并求边长
的值;
(2)判断△的形状,并求当
时,角
的大小.
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