Question

【题目】设 a ∈ N+ ， a ≥ 2 ， 集合.在闭区间[ 1， a ] 上是否存在 b ， 使 A ∩ B ≠ ? 如果存在， 求出 b 的一切可能值及相应的 A ∩ B；如果不存在， 试说明理由.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设 b ∈[ 1， a] 使 A ∩ B ≠ ， 即存在 y0 ∈ A 且y0∈ B ， 使 y0 =am（m ∈ N+）且 y0 = （a +1）n + b（n ∈ N+）.则应存在 m 、n ∈ N+， 使 am =（a + 1）n +b（1≤b ≤a），即.

∵

，

∴时，应使能被整除.

（1）当 m 是正偶数时， 有 1 - b 能被 a +1 整除.

由于 a ≥2 ， 1≤b ≤a ， 故仅当 b =1 时满足要求.

（2）当 m 是正奇数时， 有-1-b 能被a +1 整除.

由于 2 ≤b +1 ≤ a +1 ， 故仅当 b = a 时满足要求.

综上， 满足题意的 b 存在， 其取值为 b =1 或 b = a.

当b =1时，；

当b = a时，.