Question

4．已知函数f（x）为奇函数，且x＞0时f（x）=2^x-2，则不等式f（x+1）＜0的解集为（　　）

• A． {x|x＜0或1＜x＜2}
• B． {x|-2＜x＜-1或x＞0}
• C． {x|x＜-2或-1＜x＜0}
• D． {x|0＜x＜1或x＞2}

Answer 1

分析 根据函数为奇函数求出f（-1）=0，再将不等式f（x+1）＜0分成两类加以讨论，再分别利用函数的单调性进行求解，可以得出相应的解集再求并即可．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，且函数f（x）在（-∞，0）内是增函数．
∴f（x+1）＜0?当x+1＞0时，f（x+1）＜0=f（1）或
当x+1＜0时，f（x+1）＜0=f（-1）
根据f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数，
得到：0＜x+1＜1或x+1＜-1⇒-1＜x＜0或x＜-2
故选：C．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的性质，以及函数单调性的应用等有关知识，属于基础题．结合函数的草图，会对此题有更深刻的理解．