Question

13．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面AB是CD菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（1）证明：BD⊥平面A₁CO；
（2）若∠BAD=60°，求直线A₁C与平面AA₁D₁D所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁O⊥BD，CO⊥BD，由此能证明BD⊥平面A₁CO．
（2）以OA，OB，OA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁C与平面AA₁D₁D所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵A₁O⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁O⊥BD．
∵ABCD是菱形，∴CO⊥BD．
又A₁O∩CO=O，∴BD⊥平面A₁CO．
解：（2）由（1）知OA，OB，OA₁两两垂直，
则以OA，OB，OA₁分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵∠BAD=60°，AB=AA₁=2，∴OB=OD=1，AO=$\sqrt{3}$，OA₁=1，
则A（$\sqrt{3}，0，0$），D（0，-1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，1），
$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-$\sqrt{3}，0，1$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-$\sqrt{3}，0，-1$），
设平面AA₁D₁D的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=-\sqrt{3}x+z=0}\end{array}\right.$，得y=-z=-$\sqrt{3}$x，
令x=1，得y=-$\sqrt{3}$，z=$\sqrt{3}$，∴$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∵cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{A}_{1}C}|}$=$\frac{-2\sqrt{3}}{2×\sqrt{7}}$=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴直线A₁C与平面AA₁D₁D所成角的正弦值$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．