Question

7．设函数f（x）=cos²x+2asinx-a（x∈R，a∈R）的最大值是2，求a的值．

Answer 1

分析 首先把函数f（x）=cos2x+asinx通过三角恒等变换转化成以sinx为变量的二次函数，然后对a与区间[-1，1]的关系进行讨论．

解答 解：f（x）=-sin²x+2asinx+1-a=-（sinx-a）²+a²-a+1．
当a≤-1时，f_max（x）=-（-1-a）²+a²-a+1=2，解得a=-$\frac{2}{3}$（舍）．
当a≥1时，f_max（x）=-（1-a）²+a²-a+1=2，解得a=2．
当-1＜a＜1，f_max（x）=a²-a+1=2，解得a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$或a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍）．
综上，a=2或a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了三角恒等变换，三角函数的值域，二次函数的性质，属于中档题．