Question

18．函数f（x）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx的最小正周期为4π．

Answer 1

分析 根据诱导公式一，可判断出4π是函数f（x）的一个周期，再用反证法可得：4π是函数f（x）的最小正周期．

解答 解：∵函数f（x）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx，
∴f（x+4π）=2sin（$\frac{x}{2}$+2π）-$\sqrt{3}$cos（x+4π）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx=f（x），
故4π是函数f（x）的一个周期，
若4π不是函数f（x）的最小正周期，
则存在T∈（0，4π），使f（x+T）=2sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{T}{2}$）-$\sqrt{3}$cos（x+T）=2sin$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$cosx恒成立，
令x=0，则2sin$\frac{T}{2}$-$\sqrt{3}$cosT=-$\sqrt{3}$，即2sin$\frac{T}{2}$（$\sqrt{3}$sin$\frac{T}{2}$+1）=0，
解得：T=2π，或T=arcsin（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
经检验两者均不是函数f（x）的周期，
故4π是函数f（x）的最小正周期，
故答案为：4π．

点评 本题考查的知识点是三角函数周期的求法，难度中档．