Question

15．在△ABC中，a²=b²+c，acosB=4bcosA，则c=$\frac{5}{3}$，；若a=3，则△ABC是锐角三角形．

Answer 1

分析 由a²=b²+c⇒a²-b²=c，acosB=4bcosA，利用余弦定理可转化为a²-b²=$\frac{3{c}^{2}}{5}$，联立可求c的值，利用余弦定理即可判断三角形的形状．

解答 解：∵acosB=4bcosA，
由余弦定理可得a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=4b•$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得：a²-b²=$\frac{3{c}^{2}}{5}$，
又∵a²=b²+c，可得：a²-b²=c，
联立可得$\frac{3{c}^{2}}{5}$=c，
∵c＞0，
∴c=$\frac{5}{3}$，
若a=3，则b²=a²-c=9-$\frac{5}{3}$=$\frac{22}{3}$，a²=9，c²=$\frac{25}{9}$，
∵由a²+b²＞c²，b²+c²＞a²，a²+c²＞b²，
∴由余弦定理可得△ABC是锐角三角形．
故答案为：$\frac{5}{3}$，锐角．

点评 本题主要考查了利用余弦定理解三角形，属于基础试题，难度不大，要求熟练掌握公式．