Question

20．用数学归纳法证明：
（1）2+4+6+…+2n=n²+n；
（2）1²+2²+3²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$；
（3）1³+2³+3³+…+n³=[$\frac{1}{2}$n（n+1）]²．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：（1）：①当n=1时，左边=2，右边=1+1=2，
∴等式成立，
②假设n=k时等式成立，即2+4+6+…+2k=k²+k，
当n=k+1时，等式左边=2+4+6+…+2k+2（k+1）=k²+k+2（k+1）=（k+1）²+（k+1）
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
根据①②，可知对n∈N^*等式成立；
（2）①当n=1时，左边=1，右边=$\frac{（1+1）（2+1）}{6}$，
∴等式成立，
②假设当n=k时，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$，
当n=k+1时，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$，
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
根据①②可知等式对任意正整数n都成立；
（3），①当n=1时，左边=1，右边=[$\frac{1}{2}$（1+1）]²=1，
∴等式成立，
②假设当n=k时，等时成立，即1³+2³+3³+…+k³=[$\frac{1}{2}$k（k+1）]²．
那么，当n=k+1时，有1³+2³+3³+…+k³+（k+1）³=[$\frac{1}{2}$k（k+1）]²+（k+1）³，
=（k+1）²•（$\frac{{k}^{2}}{4}$+k+1）
=（k+1）²•$\frac{{k}^{2}+4k+4}{4}$
=$\frac{（k+1）^{2}（k+2）^{2}}{4}$
═[$\frac{1}{2}$（k+1）（k+1+1）]²．
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
根据①②，可知对n∈N^*等式成立．

点评 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．