Question

8．已知矩形ABCD，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，将平面ABC沿直线AC翻折，使得BD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，则三棱锥B-ACD的体积为$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，根据各边的长度列方程求出棱锥的高．

解答 解：以B为原点建立如图所示的空间坐标系，
则AB=CD=1，AD=BC=$\sqrt{3}$，∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=2$．BD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴A（-1，0，0），B（0，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0）．
设D（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=\frac{7}{4}}\\{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}+{z}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得z=$\frac{3}{4}$．
∴三棱锥D-ABC的高h=$\frac{3}{4}$．
∴三棱锥的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BC×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，求出棱锥的高是解题关键．