Question

5．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）＞0，且对任意x∈R，f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$恒成立，则f（2015）=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 先根据条件求出函数f（x）的周期为4，并根据f（x）为偶函数，从而得到f（2015）=f（1），而令x=-1便可求出f（1）=1，从而得出f（2015）的值．

解答 解：由$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$得，$f（x）=\frac{1}{f（x+2）}=f（x+4）$；
∴f（x）是周期为4的周期函数；
∴f（2015）=f（-1+4×504）=f（-1）=f（1）；
由$f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$令x=-1得：f（1）=$\frac{1}{f（-1）}$=$\frac{1}{f（1）}$；
∵f（x）＞0，∴f（1）=1；
∴f（2015）=1．
故选：D．

点评 考查偶函数的定义，以及周期函数的定义，求f（1）时，注意条件f（x）＞0．