Question

14．数列{a_n}中，${a_1}=1，{a_2}=\frac{2}{3}$，且n≥2时，有$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{a_n}$，则（　　）

• A． ${a_n}={（\frac{2}{3}）^n}$
• B． ${a_n}={（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
• C． ${a_n}=\frac{2}{n+2}$
• D． ${a_n}=\frac{2}{n+1}$

Answer 1

分析 通过$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{a_n}$及${a_1}=1，{a_2}=\frac{2}{3}$可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵当n≥2时，有$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{2}{a_n}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{3}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1、公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．