Question

15．函数$g（θ）={sin^2}θ+mcosθ-2m，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$．
（1）当m=$\sqrt{3}$时，求g（θ）的单调递增区间；
（2）若g（θ）+1＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令t=cosθ∈[0，1]，可得$g（t）=-{（t-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}-2\sqrt{3}+\frac{7}{4}$，可得：g（t）在$[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$上单调递增，在$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$上单调递减，又t=cosθ在$[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减，令$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤t≤1$，即可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由题意可得：$m＞\frac{{2-{{cos}^2}θ}}{2-cosθ}=4-[（2-cosθ）+\frac{2}{2-cosθ}]$，由$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，可得2-cosθ∈[1，2]，利用基本不等式即可得解m的取值范围．

解答 解：（1）令t=cosθ∈[0，1]，可得：$y=-{t^2}+\sqrt{3}t-2\sqrt{3}+1=-{（{t-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^2}-2\sqrt{3}+\frac{7}{4}$，
记$g（t）=-{（t-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}-2\sqrt{3}+\frac{7}{4}$，可得：g（t）在$[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$上单调递增，在$[{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1}]$上单调递减．
又t=cosθ在$[{0，\frac{π}{2}}]$上单调递减．令$\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤t≤1$，解得$0≤θ≤\frac{π}{6}$，
故函数f（x）的单调递增区间为$[{0，\frac{π}{6}}]$．…（6分）
（2）由g（θ）＜-1得（2-cosθ）m＞2-cos²θ，
即：$m＞\frac{{2-{{cos}^2}θ}}{2-cosθ}=4-[（2-cosθ）+\frac{2}{2-cosθ}]$，
∵$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴2-cosθ∈[1，2]，
∴$（2-cosθ）+\frac{2}{2-cosθ}≥2\sqrt{2}$，等号成立时cosθ=2-$\sqrt{2}$．
故：4-[（2-cosθ）+$\frac{2}{2-cosθ}$]的最大值是4-2$\sqrt{2}$．
从而m＞4-2$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查二次函数的图象和性质及恒成立问题，考查了基本不等式的应用，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．