Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=$\sqrt{2}$AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．通过证明$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=0$，证明AC⊥EF．
（2）求出平面PCD的一个法向量，设直线EF与平面PCD所成角为θ，通过向量的数量积求解直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

解答 （12分）解：（1）易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则：A（0，0，0），$B（\sqrt{2}，0，0）$，$C（\sqrt{2}，1，0）$，
D（0，2，0），P（0，0，2），$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，1）$，F（0，1，0）．…（3分）
从而$\overrightarrow{EF}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1，-1）$，$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{2}，1，0）$
因为$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=0$，所以$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{EF}$，
即AC⊥EF…（6分）
（2）$\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}，1，-2）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-2）$
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面PCD的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x+y-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$
令$z=\sqrt{2}$，则$\overrightarrow n=（1，\sqrt{2}，\sqrt{2}）$…（9分）
设直线EF与平面PCD所成角为θ，则$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{EF}＞|=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{1}{5}$
即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{1}{5}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的条件的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．