Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bccosA+abcosC=ac²且b=3．
（1）求△ABC的面积的取值范围；
（2）若D是边AC的中点，且△ABC的面积为$\frac{9\sqrt{7}}{8}$，求|$\overrightarrow{BD}$|的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得b²=ac，可得ac=9，利用基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，可得B∈（0，$\frac{π}{3}$]，利用三角形面积公式即可得解取值范围．
（2）由（1）可得：ac=9，利用三角形面积公式可求sinB，cosB的值，利用平面向量的运算即可求值得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由余弦定理可得：b²=ac，又b=3，∴ac=9，
则：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{9}{2}$sinB≤$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的面积的取值范围为：（0，$\frac{9\sqrt{3}}{4}$]…6分
（2）由（1）可得：ac=9，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{9}{2}$sinB=$\frac{9\sqrt{7}}{8}$，则：sinB=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，可得：cosB=$\frac{3}{4}$…8分
则：$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|$²=c²+a²+2accosB=b²+4accosB=36，
∴$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|$=6，即|$\overrightarrow{BD}$|=|$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）|=3．…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，平面向量的运算及应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．