Question

11．已知实数a，b满足：2b²-a²=2，则|a-3b|的最小值为$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 2b²-a²=2可化为：b²=$\frac{1}{2}$a²+1，令b=$\frac{1}{cosθ}$，a=$\sqrt{2}$tanθ，则|a-3b|=|$\sqrt{2}$tanθ-$\frac{3}{cosθ}$|，利用换元法，可得答案．

解答 解：2b²-a²=2可化为：b²=$\frac{1}{2}$a²+1，
令b=$\frac{1}{cosθ}$，a=$\sqrt{2}$tanθ，
则|a-3b|=|$\sqrt{2}$tanθ-$\frac{3}{cosθ}$|=$\sqrt{\frac{2{sin}^{2}θ-6\sqrt{2}sinθ+9}{{cos}^{2}θ}}$=$\sqrt{\frac{2{sin}^{2}θ-6\sqrt{2}sinθ+9}{{1-sin}^{2}θ}}$，
令f（x）=$\frac{2{x}^{2}-6\sqrt{2}x+9}{1-{x}^{2}}$，-1＜x＜1，
则f′（x）=-$\frac{6\sqrt{2}{x}^{2}+22x+6\sqrt{2}}{{（1-{x}^{2}）}^{2}}$，
当-1＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，f′（x）＜0，当$\frac{\sqrt{2}}{3}$＜x＜1时，f′（x）＞0，
故当x=$\frac{\sqrt{2}}{3}$时，f（x）取最小值7，
故|a-3b|的最小值为$\sqrt{7}$，
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查的知识点是转化思想，复数的模，换元法，难度较大．