Question

8．已知函数f（x）=x²+2ax+a²-1．
（1）若对任意的x∈R均有f（1-x）=f（1+x），求实数a的值；
（2）当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值，用g（a）表示其最小值，判断g（a）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）由f（1-x）=f（1+x），得到对称轴为x=1，即可求出a的值，
（2）根据二次函数的性质，分类讨论即可求出g（a），再根据奇偶性的定义即可判断．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+2ax+a²-1对任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立，
∴函数的对称轴x=-a=1，
∴a=-1，
（2）∵f（x）=x²+2ax+a²-1=（x+a）²-1，其对称轴为x=-a，
当-a≤-1时，即a≥1时，函数f（x）在[-1，1]上单调递增，故g（a）=f（x）_min=f（-1）=a²-2a，
当-1＜-a＜1时，即-1＜a＜1时，故g（a）=f（x）_min=f（a）=-1，
当-a≥1时，即a≤-1时，函数f（x）在[-1，1]上单调递减，故g（a）=f（x）_min=f（1）=a²+2a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a，a≥1}\\{-1，-1＜a＜1}\\{{a}^{2}+2a，a≤-1}\end{array}\right.$，
∵g（-a）=g（a），
∴g（a）为偶函数

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题