Question

2．设数列{a_n}前n项的和S_n=n²
（Ⅰ）求数列a_n}的通项公式
（Ⅱ）设b_n=a₃+（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由数列的前n项和结合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列的通项公式；
（Ⅱ）把数列a_n}的通项公式代入b_n=a₃+（-1）ⁿa_n，然后对n分类求和．

解答 解：（Ⅰ）由S_n=n²，得a₁=S₁=1，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={n}^{2}-（n-1）^{2}$=2n-1，
当n=1时上式成立，
∴a_n=2n-1；
（Ⅱ）a₃=2×3-1=5，
b_n=a₃+（-1）ⁿa_n=5+（-1）ⁿ（2n-1），
当n为偶数时，T_n=5n-1+3-5+7-…+（2n-1）=$5n+2•\frac{n}{2}=6n$；
当n为奇数时，T_n=5n-1+3-5+7-…+（2n-3）-（2n-1）=$5n+2•\frac{n-1}{2}-2n+1=4n$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了分类讨论求数列的和，是中档题．