Question

12．已知函数y=cos²α-asinα+b，且-4≤y≤0，求a，b．

Answer 1

分析 化简可得y=-（sinα+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1，看作关于sinα的二次函数，分类讨论可得a和b的方程组，解方程组可得答案．

解答 解：化简可得y=cos²α-asinα+b=-sin²α-asinα+b+1=-（sinα+$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$+b+1
由二次函数可知当-$\frac{a}{2}$≤-1即a≥2时，上式在sinα=-1时取最大值，在sinα=1时取最小值，
∵-4≤y≤0，∴函数的最大值和最小值分别为0和-4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a+b+1=0}\\{-1-a+b+1=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，符合题意；
当-1＜-$\frac{a}{2}$≤0即0≤a＜2时，上式在sinα=-$\frac{a}{2}$时取最大值，在sinα=1时取最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+b+1=0}\\{-1-a+b+1=-4}\end{array}\right.$，解得a=2或a=-6，均不满足0≤a＜2，应舍去；
当0＜-$\frac{a}{2}$≤1即-2≤a＜0时，上式在sinα=-$\frac{a}{2}$时取最大值，在sinα=-1时取最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}}{4}+b+1=0}\\{-1+a+b+1=-4}\end{array}\right.$，解得a=-2或a=6，a=-2满足题意，此时b=-2；
当-$\frac{a}{2}$＞1即a＜-2时，上式在sinα=1时取最大值，在sinα=-1时取最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a+b+1=-4}\\{-1-a+b+1=0}\end{array}\right.$，解得或a=-2，不满足a＜-2，应舍去；
综上可得ab的值为$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数的最值和分类讨论的思想，属中档题．