Question

1．最近高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了了解我省广大师生对新高考改革的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：

	赞成改革	不赞成改革	无所谓
教师	120	y	40
学生	x	z	130

在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z=2y．
（1）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
（2）在（1）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少一名教师被选出的概率．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出x、y和z的值，计算出应抽取的教师与学生人数；
（2）利用列举法求出基本事件数，求出对应的概率即可．

解答 解：（1）由题意$\frac{x}{500}$=0.3，解得x=150，
所以y+z=60；
又因为z=2y，所以y=20，z=40；
则应抽取的教师人数为$\frac{50}{500}$×20=2，
应抽取的学生人数为$\frac{50}{500}$×40=4；   …（5分）
（2）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a、b，
4名学生记为1，2，3，4，
随机选出三人的不同选法有
（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），
（a、1、2），（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），
（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4），
（1、2、3），（1、2、4），（1、3、4），（2、3、4）共20种，…（9分）
至少有一名教师的选法有
（a、b、1），（a、b、2），（a、b、3），（a、b、4），（a、1、2），
（a、1、3），（a、1、4），（a、2、3），（a、2、4），（a、3、4），
（b、1、2），（b、1、3），（b、1、4），（b、2、3），（b、2、4），（b、3、4）共16种，
所以至少有一名教师被选出的概率为P=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$．    …（12分）

点评 本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了用列举法计算古典概型的概率问题，是基础题目．