Question

设命题p：方程2x²+x+a=0的两个根x1 ，x₂满足x₁＜1＜x₂；命题q：函数y=log₂（ax-1）在区间[1，2]上单调递增．若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：命题p：方程2x²+x+a=0的两个根x1 ，x₂满足x₁＜1＜x₂，设f（x）=2x²+x+a=0，则f（1）=2+1+a＜0，解得a．命题q：函数y=log₂（ax-1）在区间[1，2]上单调递增，可得0＜a-1＜2a-1，解得a．由于命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p与q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命题p：方程2x²+x+a=0的两个根x1 ，x₂满足x₁＜1＜x₂，设f（x）=2x²+x+a=0，则f（1）=2+1+a＜0，解得a＜-3．
命题q：函数y=log₂（ax-1）在区间[1，2]上单调递增，∴0＜a-1＜2a-1，解得a＞1．
∵命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p与q必然一真一假．
∴

a＜-3 a≤1

或

a≥-3 a＞1

．
解得a＜-3或a＞1．
∴实数a的取值范围为：a＜-3或a＞1．
故答案为：a＜-3或a＞1．

点评：本题考查了一元二次方程与实数根的关系、对数函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．