Question

3．已知曲线方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，求点（2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$）处的切线方程．

Answer 1

分析 设切线的方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x-2$\sqrt{3}$），联立椭圆的方程，消去y，再由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得k，进而得到所求切线的方程．

解答 解：设切线的方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x-2$\sqrt{3}$），
即为y=kx+$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$k，
代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得：
（9+16k²）x²+16k（3-4$\sqrt{3}$k）x+16（$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$k）²-144=0，
由直线和椭圆相切的条件可得：
△=256k²（3-4$\sqrt{3}$k）²-4（9+16k²）[16（$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{3}$k）²-144]=0，
解得k=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
即有切线的方程为y-$\frac{3}{2}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-2$\sqrt{3}$），
即为y=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x+6．

点评 本题考查椭圆的切线的方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，由判别式等于0，考查运算能力，属于中档题．